Теорема Виета

Теорема Виета — это теорема, которая используется для решения квадратных уравнений.

В уравнении вида x²+px+q = 0:

  • сумма корней равна его второму коэффициенту p, но знак меняется на противоположный (x1+x2 = −p);
  • произведение корней равно его свободному члену q, знак не меняется (x1.x2 = q).

Пример 1

Пример x²+5x−6 = 0

p- это второй коэффициент с противоположным знаком

q- это третий коэффициент

Надо подобрать корни x1 и x2 таким образом, чтобы их сумма равнялась −5, но и их произведение равнялось −6 (обычно это делается в уме).

Единственные числа, которые сюда подходят — это 1 и -6, значит x1 = 1 и x2 = -6.

Пример 2

Пример x² −4,5x +2 = 0

Надо подобрать корни x1 и x2 таким образом, чтобы их сумма равнялась 4,5, но и произведение равнялось бы 2.

Единственные числа, которые сюда подходят — это 4 и 0,5, значит x1 = 4 и x2 = 0,5.

Обратная теорема Виета

Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения вида x² + px + q = 0, то известно, что x1+x2 = −p и x1. x2 = q.

Например:

Известны x1 = 4 и x2 = 3, корни квадратного уравнения. Требуется составить это уравнение.

Искомое уравнение имеет вид x² + px + q = 0

x1+x2 = −p, x1.x2 = q

p = −(x1+x2) = −(4+3) = −7 (не забудьте про минус)

q = x1.x2 = 4 ⋅ 3 = 12

Уже есть все значения, можно составить искомое уравнение: x² − 7x + 12 = 0.

Теорема Виета для кубического уравнения

Имеется уравнение вида ax³ + bx² + cx + d = 0

В этом случае будут подбираться корни, удовлетворяющие эти условия:

x1+x2 + x3 = −b/a, x1x2 + x1x3 + x2x3= c/a, x1x2x3 =−d/a

Где x1, x2, x3 — корни уравнения.

Как превратить неприведённое квадратное уравнение в приведённое

Если уравнение выглядит так: ax² + bx + c = 0 (вместе с x² стоит число), то это уравнение является неприведённым, с ним ещё нельзя работать. Чтобы сделать его приведённым, нужно всего лишь разделить всё уравнение на это число a.

Например:

  1. 2x² + 4x + 6 = 0 (неприведённое, делим всё на 2, т. к. вместе с x² стоит 2)
  2. 2x²/2 + 4x/2 + 6/2 = 0
  3. x² + 2x + 3 =0 (теперь оно стало приведённым, т. к. старший коэффициент с x² равен 1)

Если вам неизвестны коэффициенты, это деление можно показать так:

x1+x2 = −p/а и x1. x2 = q/а

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора.