Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

1. Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: A = (a + b) (a + b);
2. Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²;
3. Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе: 4ab/2 = 2ab;
4. Сумма наименьшего квадрата и треугольников: A = c² + 2ab;
5. Площадь большого квадрата (A = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:

(a + b) (a + b) = c² + 2ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c²

Что и требовалось доказать.

"Пифагоровы штаны на все стороны равны"

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

1. Общая площадь исходного треугольника (С) равна сумме двух новых, маленьких (A и B): С = А + B;
2. Делим "Пифагоровы штаны" на 3 похожие фигуры:

   

3. Все 3 треугольника подобны друг другу (A, B, C) и из-за этого "фигуры-домики" также являются подобными.
4. Значит соотношение площади A и a² будет одинаковым с площадью B и b², но и с площадью C и c². Т. е.: A/a² = B/b² = C/c² = β (назовём это соотношение греческой буквой бета);
5. Площадь каждого треугольника, через площадь каждого из квадратов, равна: A = βa², B = βb², C = βc²;
6. Вспомним, что С = А + B, т. е. βc² = βa² + βb², это равно c² = a² + b².

Что и требовалось доказать.

Примеры

Задача 1

На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Записать формулу

c² = a² + b²

Подставить известные значения

x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16

x² = 25

x = √25

x = 5

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

Задача 2

Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

Решение:

Записать формулу

c² = a² + b²

Подставить известные значения

13² = 12² + b²

169 = 144 + b²

169 – 144 = b²

25 = b²

√25 = b

5 = b

Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

Следствия из теоремы Пифагора

Это основные следствия теоремы:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из двух катетов.
2. Если применить формулу теоремы Пифагора (c² = a² + b²) и равенство будет верным, (т.е. если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон), то треугольник прямоугольный.
3. Из формулы теоремы Пифагора также можно посчитать любой из катетов: a² = c² − b² либо b² = c² − a².
4. Любой косинус (cos) острого угла будет меньше 1.

Кто придумал теорему Пифагора

Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.