Производная
Понятие производной
Производная функции − это результат дифференцирования функции.
Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ ("производная от f").
Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:
Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.
Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.
Геометрический смысл производной функции
Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.
Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).
Физический смысл производной функции
Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент "t0". Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.
Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом:
Таблица производных функций
Как пользоваться этой таблицей?
Например, производная линейной функции a*x равна константе, стоящей вместе с переменной x, т. е.: (а*x)′ = а.
Или нужно найти производную функции f(x) = 2 cos x:
f’(x) = (2 cos x)’ = 2 (cos x)’ = 2 (– sin x) = –2 sin x
Как найти производную?
Пример 1
f(x) = 6x³
f′(x) = 3 * 6x²
f′(x) = 18x²
Степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1.
Пример 2
f(x) = 3x³ – 5x² + 6x − 5
f'(x) = 3*3x² – 2*5x¹ + 6 − 0
f(x) = 9x² – 10x + 6
Пример 3
f(x) = (x−4) (2x+x²)
Нужно сначала раскрыть скобки:
f(x) = (x−4) (2x+x²)=
f(x) = 2x² − 8x + x³ − 4x²
f(x) = x³ − 2x² − 8x
Теперь можно приступать к поиску производной, как и в предыдущих примерах степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1:
f´(x) = (x³ − 2x² − 8x)´=
f´(x) = 3x² − 2*2x¹ − 8 =
f´(x) = 3x² − 4x − 8
Пример 4
f(x) = √x
Переведём сначала корень в степень:
f(x) = x ^ (½)
Теперь можно производить вычисления производной с обычной формулой степеней:
f´(x) = ½ * x ^ (½ – 1)
f´(x) = ½ * x ^ (– ½)
f´(x) = ½ * (1/√x)
Можно остановиться здесь, но бывает, что ответ с корнем в знаменателе не считается совсем правильным, поэтому умножаем всю вторую дробь на "√x/√x".
(1/√x) * (√x/√x) = √x/x
Значит правильный и "красивый" ответ:
f´(x) = ½ * (√x/x)
Пример 5
f(x) = sin x − cos x
Из таблицы мы знаем:
(sin x)´ = cos x
(cos x)´ = − sin x
Так как это вычитание, осталось только подставить:
f´(x) = (sin x − cos x)´
f´(x) = cos x − (− sin x)
f´(x) = cos x + sin x
Сложные функции — примеры
Правило сложной функции:
(u (v))´ = u´ (v) * v´
Пример
1. Сначала нужно разобраться, что "arctg x" является нашей простой (внутренней) частью функции, это наше “v” формулы.
2. Применяем формулу корня из таблицы в левой части, получится 1/2 √arctg x, оставляя правую нерешённой.
3. Применяем формулу arctg x из таблицы (1/ (1 + x²)).
4. Совмещаем и готово
4.1. Если хотите "красивый" ответ, нужно убрать корень из знаменателя, умножая всю эту дробь на √arctgx / √arctgx.
Получится √arctgx / (2 (1 + x²) arctgx)
Как определить знак производной?
1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).
2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.
3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.
Пример:
y = x² – 6x + 17
Её производная y’ = 2x – 6.
Расчёт критических точек:
y’ = 0
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3
Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на "до" и "после".
| x < 3 | x = 3 | x > 3 |
|---|---|---|
| 0 |
Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.
1. для x < 3 выбираем, например, x = 1 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(1) = 2 * 1 – 6 = -4 <0, значит в таблицу записываем "–" (это означает, что в этой точке функция убывает).
2. для x > 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем "+" (это означает, что в этой точке функция возрастает).
| x < 3 | x = 3 | x > 3 |
|---|---|---|
| – | 0 | + |
Вторая производная
Можно вычислить и "производную производной", обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:
y = x² – 6x + 17
- её производная y’ = 2x – 6
- вторая производная y’’ = (2x – 6)' = 2
Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.
Что такое композиция функций?
Иногда называется сложной функцией.
Сложная функция обычно записывается как (f o g) (x), т. е. можно "изобразить g (x) через f (x)" или наоборот.
Например, даны две функции: f (x) = 2x + 3 и g (x) = – x² + 5.
Требуется узнать (f o g) (x), это означает "f (g (x))".
Решение:
Нужно подставить в функцию f (вместо x) функцию g
(f o g) (x) = f (g (x)) = f (–x² + 5) = 2 (–x² + 5) + 3 = – 2x² + 10 + 3 = – 2x² + 13
Если нужно узнать (g o f) (x), это "g (f (x))".
Решение:
(g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3) = – (2x + 3)² + 5 = – (4х² + 12x + 9) + 5 = – 4х² – 12x – 9 + 5 = – 4х² – 12x – 4